Klasik ve Modern Mantık Risalesi
- Mert Ali Aytaç
- 16 Eyl
- 37 dakikada okunur
Kısa Bir Girizgâh
Bu bölüm bu risale için kısa bir giriş olma gayesindedir. Burada kendimce önemli bulduğum birkaç hususa değinmekten imtina etmek istemedim. Bunlara siz değerli okurumun da yüksek müsaadesiyle değinmek isterim.
Bilindiği üzere risale küçük kitap anlamına gelir ancak önünüzde duran veya dijital yollarla okumaya niyetlendiğiniz bu eser hiç de ufak değil. Buna risale adını vermemin sebebi, bilim felsefesi üzerine yazacağım eserin anlaşılması adına önem teşkil etmesidir çünkü –çoğu kişinin de bana katıldığını varsayarak- mantık olmadan bilim felsefesinin anlaşılamayacağını düşünüyorum. Ayrıca bu risale
tek olmayacak, bunun haricinde bir de “Epistemoloji ve Bilgi Teorisi” risalesi telif etme niyetindeyim. Bu iki risaleyi tek bir başlık, “Temel Noktalarıyla Mantık ve Epistemoloji”, altında toplayıp Allah’ın izniyle daha sonraları telif edeceğim “Tüm Yönleriyle Bilim Felsefesi” eserime bir zemin oluşturmak istiyorum. Bu zemini çok detaylı tutmak istemedim, bunun hasebiyle her şeyi kısa, öz ve yüzeysel tutma niyetindeyim. Elbette bu konuları derinlemesine bilmek bilim felsefesi çalışırken daha iyi bir kavrayış sağlayacaktır ancak bunları ne bu kadar uzun tutabilecek kadar bilgi sahibiyim ne de bunu yapabilecek zamanım var. Siz değerli okurumdan en önemli istirhamım bilim felsefesi eserimi okumanızdır –bu risaleleri okuduktan sonra- çünkü kanaatimce bu eser eşine Türkiye’de çok ender rastlayacağınız veya hiç rastlayamayacağınız türdendir. Bunun nedenlerini bilim felsefesi eserimin giriş bölümünde detaylıca açıklıyor olacağım.
Kitabın sınırlarını çizmek adına birkaç kelam etmek isterim. Öncelikle bu kitap olabildiğince nesnel kalmaya çalışan bir kitaptır, elbette kaynak seçimi ve konu başlığı seçimi bile esere öznellik katar, amacıysa olabildiğince mantık konusunda malumat düzeyinde bilgi vermektir. Ben kendimi mantık konusunda kanaat üretebilecek düzeyde bir kişi olarak görmüyorum, bu sebeple yazdığım her şey bir kıylükalden (o bunu dedi, şu şunu dedi) ibarettir ve piyasadaki mantığa giriş ve temel düzey mantık eserlerinin basitleştirilmiş bir versiyonudur.
Bir de kitabı içerik yönünden incelemeye tabii tutmak istiyorum. Bu mantık eserinde dedüksiyon, indüksiyon ve retrodüksiyon mantığını genel bağlamda inceleyeceğiz. Umarım giriş niteliğinde faydalı bir eserdir. Çok da uzatıp siz değerli okurumun vaktinden almak istemem. Öyleyse ilk konuyla başlayalım.
2.Mantığın Temel Kavramları
İlkin mantığın ne olduğuna dair konuşalım. Mantık kelimesini günlük hayatta birçok farklı şekilde kullanıyoruz, mesela bir şey bize akla yatkın değilmiş gibi veya yanlış gözüktüğünde ona “mantıksız” adını veriyoruz. Oysaki mantığın ne doğruluk ve yanlışlıkla ne de akla yatkın olup olmamayla bir alakası vardır. Mantık formel (biçimsel) bir bilimdir –hatta bilim olup olmadığı bile tartışmalıdır- ve içeriğini tamamen soyut kavramlar oluşturur. Bunun haricinde mantığı en basit haliyle tanımlamak istersek; formel (soyut, imgesel) ve kurallara uygun şekilde akıl yürütme yolu veya şeklidir, diyebiliriz. Zaten bu tanımdan dahi mantığın doğru ve yanlışı konu almadığı malumunuzdur. Mantık geçerli ve geçersizi konu alır.
Peki, nedir bu geçerli (valid) ve geçersiz? Geçerli, mantığın formel kurallarına uygun; geçersiz bu kurallara uygun olmayan önermelerdir (cümlelerdir: declarative sentence). Bu noktada aslında önermenin de ne olduğundan bahsettik, önerme; doğru veya yanlış bir yargı barındırabilecek olan mantıksal cümledir. Biz mantık biliminde işte bu “önerme” dediğimiz cümlelerin kendi içlerinde tutarlı olup olmadığını inceleriz. Argüman (arguement) kavramıysa birden fazla önermeden oluşan ve bir sonuç önermesine sahip olan akıl yürütme demektir. Yani önermeler kendi içinde tutarlıysa argüman geçerlidir ve çelişki yoktur; lakin, önermeler kendi içinde tutarlı değilse argüman geçersizdir ve çelişki barındırır. Şimdi bu üç kavramı bir örnek üzerinden daha iyi anlamaya çalışalım.
a) Sokrates bir insandır.
b) Tüm insanlar ölümlüdür.
————————————
.:c) O halde Sokrates ölülüdür.
Şimdi bu örneği etraflıca inceleyelim. Öncelikle burada her biri birer harfle simgelenmiş olan cümleler (a, b ve c) birer “önerme”dir (proposition). Bunlardan c harfiyle temsil edilen önerme “sonuç önermesi”dir. Bir cümlenin sonuç önermesi olduğunu o cümlenin başındaki “o halde, bundan dolayı, o zaman, yani, sonuç olarak, dolayısıyla…” gibi ifadelerden anlayabilirsiniz. a ve b önermeleriyse c sonuç önermesinden önce gelen “öncül” adını verdiğimiz önermelerdir. Yani burada a ve b öncülleri ve c sonuç önermesinden oluşan bir argüman görmektesiniz. Peki bu argümanlar geçerli mi yani mantıksal olarak tutarlı mı? Bunu birçok yolla inceleyeceğiz ancak şimdilik gördüğünüz bu argümanın geçerli olduğunu bilmeniz yeterli. Şimdi de geçersiz bir önermeye göz atalım:
a) Tüm voleybolcular Türk’tür.
b) Mete Gazoz bir Türk’tür
————————————
.:c) Öyleyse Mete Gazoz bir voleybolcudur.
İşte bu argüman mantıksal olarak geçersiz bir önermedir. Şimdi de doğruluk-yanlışlık (truth value) ve geçerlilik-geçersizlik (validity) ilişkisini örnekler üzerinden inceleyerek anlayalım.
1) a) Tüm defterler kitaptır.
b) Önümdeki bir kitaptır.
————————————
.:c) O halde önümdeki bir defterdir.
Bu 1 numaralı argüman önünüzdeki bir kitap olduğu için yanlıştır, mantıksal olarak bakıldığındaysa geçersiz bir çıkarımdır. Ve şu da unutulmamalıdır ki buradaki doğruluk veya yanlışlık kanıtlara muhtaçtır ve doğruluk/yanlışlık derecesi kanıt sayısınca fazlaysa fazla, azsa azdır.
2) a) Mantığa Giriş eserini Cengiz İskender Özkan yazmıştır.
b) Mantığa Giriş mantıkla ilgili bir eserdir.
————————————
.:c) Öyleyse Cengiz İskender Özkan mantıkla ilgili bir eser yazmıştır.
Bu 2 numaralı argüman kanıtlarla da destekleyebileceğimiz doğru bir argümandır, ayrıca mantıksal olarak geçerlidir. İşte biz bu tür hem doğru hem geçerli olan argümanlara sağlam (sound) adını veriyoruz. 2 numaralı örnek bu tür argümanlara bir örnek teşkil eder.
3) a) Tüm kanatlı hayvanlar uçar
b) Fil kanatlı bir hayvandır.
————————————
.:c) Öyleyse filler uçabilir.
Bu 3 numaralı argüman kanıtlarla da destekleyebileceğimiz üzere yanlış bir argümandır ancak mantıksal olarak bakıldığında geçerlidir ama geçerli olması, onun yanlış olmadığı anlamına gelmez. Yani geçerlilik ve doğruluk parametreleri arasında herhangi bir korelasyon (bağ, paralellik) bulunmaz.
4) a) Kolalar asitli içeceklerdir.
b) Pepsi asitli bir içecektir.
————————————
.:c) Öyleyse Pepsi bir koladır.
Bu 4 numaralı argüman kanıtlarla da destekleyebileceğimiz üzere doğru bir argümandır ancak mantıksal olarak baktığımızda geçersiz bir akıl yürütmenin sonucudur. Şu unutulmamalıdır ki ne kadar doğruluk ve geçerlilik arasında bir bağ yoksa da örnekteki argümanın bilimsel açıdan herhangi bir değeri yoktur çünkü geçersizdir. Yani geçersiz ispat veya hipotezler bizi doğru sonuca ulaştırsalar dahi bilimsel açıdan kıymetleri yoktur. Bu da aslında bize hipotezlerin denetlenmesi üzerinde mantığın önemini bize kanıtlar, mantık bilim açısından önemli bir yerdedir. Bilim-mantık ilişkisini öteki bölümde zaten daha detaylıca inceleyeceğiz.
3.Dedüksiyon ve İndüksiyon
Bu bölümde iki temel mantık türü olan dedüksiyon (tümdengelim) ve indüksiyon (tümevarım) hakkında konuşacağız. Öncelikle bu iki mantık türünün yöntemsel farklarıyla başlayalım.
Dedüksiyonun yöntemi bellidir: var olan bilgilerden örtük bilgiyi elde etme. Bunu biraz daha açayım. Sokrates örneğini aklımıza getirelim, şunu diyordu örnekte:
Sokrates bir insandır.
Tüm insanlar ölümlüdür
————————————
.:c) Öyleyse Sokrates ölümlüdür.
Fark edebileceğiniz üzere Sokrates’in insan olduğu bilgisi bize verilmiş. İnsanların ölümlü olduğu bilgisine de sahibiz. O halde zaten Sokrates’in ölümlü olduğu bilgisine burada sahibiz, dedüksiyonla sadece bu örtük bilgiyi gün yüzüne çıkarmış oluyoruz.
Peki, indüksiyon nasıl çalışır? İndüksiyon gözlemler üzerinden akıl yürüten bir mantıktır ve olguları açıklamada kullanılır. Dedüksiyonsa daha çok malum olduğu üzere analitik veya soyut nesneler üzerinde kullanıma açıktır. Bu sebeple pozitif bilimlerde indüksiyon daha çok kullanılır. İndüksiyon mantığı en basit haliyle bir genelleme mantığıdır. Bir örnek zerinden nasıl işlediğini daha iyi anlayalım: kuğuları gözlemlediğimizi varsayalım. Ben bir kuğu gözlemledim ve bu kuğu beyaz, ikincisine baktım o da beyaz, üçüncüsü de beyaz… ve bir milyon gözlem yaptığımızı ve gördüğümüz tüm kuğuların beyaz olduğunu varsayalım. O halde ben şu genellemeyi yapabilirim “Tüm kuğular beyazdır” ve bunu desteklemek adına bir milyon kanıt gösterebilirim. Şu noktayı atlamak istemem, dedüksiyonda önermeler ya geçerli ya geçersizdir ancak indüksiyonda önermeler kanıtları oranınca güçlü, zayıf vs. gibi adlar alabilirler. Konumuza dönelim, daha sonra Avustralya’ya bir gezi yaptık ve orada birkaç tane siyah kuğu gördük, o halde ne kadar bir milyon gözleme karşılık birkaç siyah kuğu görmüş olsak dahi genellememizi “Tüm kuğular siyah veya beyazdır.” Şeklinde gözleme dayalı olarak yenilememiz gerekir.
Bahsettiğimiz üzere indüksiyon pozitif bilimlerde kullanılırken dedüksiyon formel bilimlerde kullanım alanı bulur (dedüksiyon pozitif ve sosyal bilimlerde de nispeten kullanılır ancak temel mantığı teşkil etmez). Dedüksiyonun pozitif bilimlerde kullanılmamasının nedeni Francis Bacon’un deyimiyle “kısır” bir yöntem olması ve yeni bilgi üretememesidir. Bacon bu yüzden daha pratik ve etkili bir yöntem olarak indüksiyonun kullanımını önermiştir. Çünkü indüksiyon sürekli yeni bilgi üretmeye ve üretilen bilgiyi yenilemeye dayalı bir yöntemdir.
Bunun haricinde dedüksiyon sonucu zorunlu kılarken indüksiyon yenilenmeye açıktır. Ayrıca indüksiyonla analojilere (benzerliklere) dayalı da çıkarım yapılabilir. Bu çıkarım yoluysa şöyle işler: iki nesne düşünelim, nesne 1 ve nesne 2. Nesne 1’de a, b, c ve d özellikleri var, nesne 2’deyse a, b ve c var. O halde biz şunu diyebiliriz, bu iki nesnenin ortak benzerlikleri oranında birinde olup diğerinde olmayan özellik diğerinde de olabilir yani nesne 2’de d özelliği de muhtemel olarak vardır diyebiliriz.
4.Mantık – Dil – Bilim - Felsefe İlişkisi
Bu bölümde sırasıyla mantığın dil, bilim ve felsefe ile olan ilişkisini inceleyeceğiz. İlk olarak mantık-dil ilişkisiyle başlayacağız ve sırayla gideceğiz.
Mantık ve dille ilgili ilk bakmamız gereken şeylerden biri hangisinin hangisinden türediği ama ben bu soruyu anlamsız buluyorum çünkü bu soru “Tavuk mu yumurtadan çıktı yumurta mı tavuktan?” sorusuna benziyor. Bildiğiniz üzere dil olmaksızın mantıksal önermeler kurup bunları denetleyemeyiz. Ancak mantık olmaksızın dilin kuralları (sentaks) var olmaz. O halde mantıksız dil, dilsiz mantık mümkün değildir diyebiliriz.
Mantığın bilimlerde birçok farklı biçimde kullanıldığını hatırlarsanız bir önceki bölümde kısaca anlatmıştık. Bu bölümdeyse biraz daha detaylı bakacağız. Hatırlarsanız bilimleri: pozitif, formel ve sosyal olmak üzere üç grupta tasnif etmiştik (sınıflandırmıştık). Teker teker mantığın bu bilimlerin tam olarak neresinde olduğuna bakalım. Eski zamanlarda dedüksiyon pozitif bilimlerde de kullanılmıştır. Mesela Aristo’nun bilimsel yönteminde indüksiyon ve dedüksiyon yarı yarıya görev alır. Bilim yapmak için yine eski çağlarda dedüksiyonu kullananlar olmuştur ancak Bacon ile birlikte bu yöntem işlevsiz addedilmiş ve yeni bir bilimsel araç (novum organum) arayışına çıkılmıştır ve bunun için en pratik olanı indüksiyon olarak kabul edilmiştir. Ama ne kadar günümüzde bilim olasılıklar ve genellemeler üzerinden içerik barındıran bir etkinlik olsa da hala dedüksiyonun pozitif bilimlerde yer ettiğini bilmek önemlidir. Günümüzde genelde deney içeriğinin hipotezini yenileme (test implication) aşamasında kullanılır. Yani gözlemlere dayalı olarak yeni hipotezler üretmede kullanılır.
Herhalde formel bilimlerde mantığın öneminden bahsetmeye gere yoktur çünkü mantık ve matematik birbirlerini tamamlayan elmanın iki yarısı gibidirler. Bu sebeple mantıkçıların bir kısmı 19.yy.dan itibaren mantığı matematiğe indirgemiş ve daha karmaşık mantıksal işlemler için “modern mantık” adı verilen bu yeni mantığı kullanmaya başlamışlardır. Matematik kendi içinde aynı modern mantığın kendi içinde barındırdığı gibi mantıksal operatörler (işlemler) barındırır.
Sosyal bilimlerdeyse genelde dedüksiyon mantığı kullanılmıştır ancak bunun kullanım denemesi genelde felsefe üzerinde yoğunlaşmıştır. Anti Yunan’da Peripatetikler, Orta Çağ Avrupası’nda Skolastikler, ve İslam coğrafyasında Meşailer olarak adlandırılan grup dedüksiyon mantığını en kesin bilgi elde yolu olarak görmüş ve felsefede kullanmaya çalışmışlardır. Bunun için en temele kesin olarak gördükleri “var vardır” gibi bir önermeyi koyup onun üzerine felsefelerini inşa etme gayretine girişmişleridir. Ancak bu gün bu görüş büyük oranda terk edilmiştir.
Özetle mantık bilimlerin her alanına nüfuz etmiş, hayatın önemli bir parçasıdır ve bu yüzden öğrenimi ehemmiyet (önem) taşımaktadır.
1.Kavramlar (Sınıflar) Arası İlişkiler
(1.Önermeler)
Klasik mantık Aristo ile başlayan ve sınıflar arası ilişkilere dayanan dedüksiyon teorisidir. Yine sınıflar arası ilişkilere dayanan argümanları (tasımları) konu alır. Biz öncelikle kategorik önermeleri daha sonra bu önermeler yoluyla kurulan kategorik argümanları (syllogisms) konu alacağız.
Kavramlar arası ilişkilerden önce içlem ve kaplamın ne olduğuna bakacağız. Aristo’nun görüşlerini sistematikleştiren Porphyrios’un ağacı bu iki kavramı anlamada bize kolaylık sağlayacaktır. İşte Porphyrios’un ağacını aşağıda görmektesiniz.
Bu ağaçta alttan yukarı çıkıldıkça kavramların alanı genişler, aşağı inildikçe daralır ve üstteki kavramlar alttakileri kapsar bu yüzden her üst terimin bir altındaki kaplamı, her alt terimin bir üstündeki içlemi oluşturur. Mesela canlı, cismi olanın kaplamıyken, cismi olan canlının içlemidir. Bu ilişkiyi anlamak ilerleyen konularda bize kolaylık sağlayacaktır.
Klasik dedüksiyonun sınıflarla veya kavramlarla ilgilendiğini söylemiştik. Sınıflar birbirleriyle üç farklı ilişki içerebilir:
Bir sınıfın tamamı bir başka sınıfça kapsanabilir (mesela tüm hamsiler balıktır ve balık sınıfını onu tamamıyla kapsar)
Bir sınıfın üyelerinin bir kısmı başka bir sınıfça kapsanabilir (mesela tüm insanların bir kısmı kadındır)
Bir sınıfın diğer bir sınıfla hiç ortak üyesi olmayabilir (mesela erkekler sınıfıyla hamileler sınıfının hiç ortak üyesi yoktur)
Bu üç ilişkiyi her kategoriye uygulayabiliriz. Bu nedenle bu tür sınıfsal ilişkileri ifade eden argümanlara “kategorik önermeler” adını veririz.
Argümanları kendi içlerinde kategorik ve kategorik olmayan diye ikiye ayırırız.
Kategorik önermeler kendi içinde sınıflara ayrılır ancak temel yapısı bellidir, “S, P’dir /değildir” şeklinde önermelerdir. Koşullu (hipotetik) önermelerse “S, R ise P’dir biçimindeki önermelerdir ve ayrık önermelerse “S, R veya P’dir.” Şeklindeki önermelerdir. Önermelerin genel mahiyetini anladığımıza göre önermelerin türlerini anlamaya çalışalım.
Niceliklerine (sayılarına) göre önermeler ikiye ayrılır:
Tikel (Bazı, en az bir tane, particular) Önermeler
Tümel (Tüm, hiçbir, universal) Önermeler
Bu önermeler de kendi içlerinde ikiye ayrılırlar:
Olumlu (Evetleyici, affirmative) Önermeler
Olumsuz (Yadsıyıcı, negative) Önermeler
İşte buradan dört tip önerme doğmuş olur.
2.Kategorik Önermeler ve Dört Standart Biçim
(1.Önermeler)
Dört tip önermeden bahsettik bu önermeler şunlardır:
Tikel Olumlu (Bazı S’ler P’dir)
Tikel Olumsuz (Bazı S’ler P değildir)
Tümel Olumlu (Tüm S’ler P’dir)
Tümel Olumsuz (Hiçbir S, P değildir)
Biz bu önermeleri bazı harflerle temsil ederiz. Olumlu olanları (1 ve 3) Latince kabul ediyorum anlamına gelen “Affirmo” sözcüğünün A ve I harflerini alırken, olumsuzlarsa (2 ve 4) Latince reddediyorum anlamına gelen “Nego” sözcüğünün E ve O harfleriyle temsil edilirler. O halde şu listeyi aklımızda tutalım:
Tikel Olumlu (Bazı S’ler P’dir)– I tipi (SiP)
Tikel Olumsuz (Bazı S’ler P değildir) – O tipi (SoP)
Tümel Olumlu (Tüm S’ler P’dir) – A tipi (SaP)
Tümel Olumsuz (Hiçbir S, P değildir) – E tipi (SeP)
Bu önermeler SeP, SiP, SoP, SaP olarak temsil edilirler. Şimdi bunlara birer örnek verelim: SaP: Tüm insanlar memelidir. SeP: Hiçbir balık memeli değildir. SiP: Bazı deniz canlıları memelidir. SoP: Bazı memeliler deniz canlısı değildir.
Bu örneklerden bu dört önerme tipini rahatlıkla anlayabiliriz. İlerleyen kısımlarda bu konuyu daha da açacağız. Bundan önce dağıtılmış olma ve dağıtılmamış olma özelliğini anlayalım. Dağıtılmış terim (distributed term) bir kavram kümesinin tümü hakkında bir yargıda bulunan terimken dağıtılmamış terim (undistributed term) sadece bazı kavram kümesinin bazı ögelerini kapsayan terimdir. Mesela SaP önermelerinde tüm S’ler kastedilirken P’lerin sadece S ile ortak olan kısmı kastedilir yani S’nin tüm ögeleri kastedilirken P’nin bazı ögeleri kastedilir. O halde S dağıtılmışken P dağıtılmamıştır. Şimdi dört önerme tipinde dağıtım tablosunu aklımızda tutalım:
3.Venn Diyagramlarıyla Temsil
(1.Önermeler)
Venn diyagramlarıyla temsile geçmeden önce kısaca bir noktaya daha değinelim. Eğer bir terimin olmadı belirtilmek isteniyorsa üstüne çizgi konur. Mesela S̲̅, S yok demekken P̲̅, P yok anlamına gelmektedir. Şimdi Venn diyagramlarındaki şu dört bölgeye bakalım.
Venn diyagramları 4 bölgeden oluşur. Bunlardan 1 numaralı olan SP̲̅ olarak gösterilir çünkü S mevcutken P mevcut değildir. 2 numaralı olansa SP olarak gösterilir çünkü hem S hem de P mevcuttur. 3 numaralı bölge S̲̅P olarak gösterilir çünkü P mevcutken S değildir ve son olarak 4 numaralı bölge S̲̅P̲̅ olarak gösterilir çünkü S de P de Mevcut değildir. Bunun haricinde bir bölgenin içinin gri veya karalanmış olması o bölgenin boş olduğunu, bir bölgenin içinde x olmasıysa o bölgenin boş olmadığını bize gösterir ve x özellikle I ve O tipi önermelerde varlık bildirimi için kullanılır. İşte dört önerme tipi Venn diyagramlarıyla böyle gösterilir:
1.Karşı Olum İlişkileri ve Karesi
(2.Dolaysız Çıkarımlar)
Bir önermenin doğruluğu veya yanlışlığı başka bir önermenin doğruluğunu veya yanlışlığını etkiliyorsa o önermeler arasında doğrudan bir ilişki vardır ve bu doğrudan ilişki üzerinden çıkarım yapmaya dolaysız çıkarım denir. Karşı olum karesi veya eşdeğerlik çıkarımlarını kullanarak dolaysız çıkarımlar yapabiliriz. Biz ilk olarak karşı olum karesini sonraysa eşdeğerlik çıkarımlarını göreceğiz. İşte karı olum karesi:
Burada görüldüğü üzere dört tip önermeler arası ilişki vardır: çelişiklik, üst karşıtlık, alt karşıtlık, altıklık. Şimdi bu ilişkilerin anlamlarını anlayacağız. Bir şeyi hatırlayalım: iki tane niceleme türü vardı tikel ve tümel ve de iki tane niteleme türü vardı olumlu ve olumsuz.
Çelişiklik: Nitelik ve nicelik bakımından tamamen farklı önermelerdir. A ve O önermeleriyle E ve I önermeleri çelişiktir. Çelişik önermeler aynı anda doğru veya yanlış olamaz, sürekli zıt değerlere sahip olmalıdırlar. Mesela bazı insanlar dürüst (I) önermesi doğruysa hiçbir insan dürüst değildir (E) yanlış olmak zorundadır.
Üst Karşıtlık: Nitelikleri farklı ama nicelikleri tümel olan önermelerdir. A ve E önermeleri üst karşıtlık ilişkisine sahiptir. Üst karşıt önermeler birlikte doğru olamaz ancak birlikte yanlış olabilirler. Mesela hiçbir yazar zeki değildir (E) ve tüm yazarlar zekidir (A) cümleleri aynı anda doğru olamaz ancak aynı anda yanlış olabilir (Bazı yazarlar zekidir – I doğruysa ikisi de yanlış olur)
Alt Karşıtlık: Nitelikleri farklı olan tikel önermelerdir. I ve O önermeleri alt karşıtlık ilişkisine sahiptir. Bu tip önermeler aynı anda doğru olabilirler ama aynı anda yanlış olamazlar. Mesela bazı insanlar yalancıdır ile bazı insanlar yalancı değildir aynı anda doğru olabilir ama yanlış olamaz.
Altıklık: Nitelikleri aynı ancak nicelikleri farklı çıkarımlardır. A ve I ve de E ve O tipi önermeler birbirleriyle altıklık ilişkisine sahiptirler. Tümel önerme (A veya E) doğruysa tikel olan diğeri doğru olmak zorundadır ama tümel yanlışsa tikelin doğruluk değeri belirlenemez. Tikel olan yanlışsa tümel olan da yanlıştır ve tikelin doğruluğu üzerinden çıkarım yapmak olanaksızdır.
2.Eşdeğerlik İlkesiyle Yapılan Çıkarımlar
(2.Dolaysız Çıkarımlar)
Eşdeğerlik; evirme, çevirme ve devirme olarak adlandırılan üç tür işlemle yapılan ve önermeleri geçerli olan eşdeğerlerine (terimlerin yerlerini değiştirerek) dönüştürme işlemidir. Eşdeğer iki önerme aynı doğruluk değerine sahiptir. Şimdi de bu üç işleme bakalım:
Çevirme (conversion): Tek adımda S ve P terimlerinin yerlerini değiştirerek yapılan işlemdir. S-P olan önerme P-S biçimin alır. Bu işlem uygulandığında yalnızca ikisi geçerli olur, bunlar çelişik olan I ve E tipidir, diğer ikisiyse geçersizdir.
SaP 🡪 PaS (Tüm P’ler S’dir) – Geçersiz
SeP 🡪 PeS (Hiçbir P, S değildir) – Geçerli
SiP 🡪 PiS (Bazı P’ler S’dir) – Geçerli
SoP 🡪 PoS (Bazı P,2ler S değildir) – Geçersiz
SeP ve SiP simetrik önermeler olduğundan çevirmede geçerlidirler. Eşdeğerlik gösterimleriyse şöyle simgelenir: SeP ≡ PeS ve SiP ≡ PiS.
Evirme (obversion): İki adımda yapılır, önce önermenin niteliği değiştirilir (üst/alt karşıtı alınır) sonra P teriminin olumsuz tümleyeni alınır (P̲̅ yapılır). Tüm evirmelerse geçerlidir, geçersiz evirme yoktur. İşte evirmeler ve sembolleştirmeleri:
SaP 🡪 SeP̲̅ (Hiçbir S, P olmayan değildir) – SaP ≡ SeP̲̅
SeP 🡪 SaP̲̅ (Tüm S’ler P olamayandır) – SeP ≡ SaP̲̅
SiP 🡪 SoP̲̅ (Bazı S’ler P olmayan değildir) – SiP ≡ SoP̲̅
SoP 🡪 SiP̲̅ (Bazı S’ler P olmayandır) - SoP ≡ SiP̲̅
Devirme (contraposition): Üç adımda yapılır, önce evirme sonra çevirme sonra bir daha evirme yapılır. Aslında özetle çevirme yapılıp S ve P, P̲̅ ve S̲̅’ye dönüştürülür. Sadece asimetrik olan önermelerde (A ve O tipi) geçerlidir. İşte devirmeler ve devirmelerin sembolleştirmeleri:
SaP 🡪 P̲̅aS̲̅ (Tüm P olmayanlar, S olmayandır) – SaP ≡ P̲̅aS̲̅ - Geçerli
SeP 🡪 P̲̅eS̲̅ (Hiçbir P olmayan, S olmayan değildir) – SeP ≡ P̲̅eS̲̅ - Geçersiz
SiP 🡪 P̲̅iS̲̅ (Bazı P olmayanlar S olmayandır) – SiP ≡ P̲̅iS̲̅ - Geçersiz
SoP 🡪 P̲̅oS̲̅ (Bazı P olmayanlar S olmayan değildir) – SoP ≡ P̲̅oS̲̅ -Geçerli
Şimdi bu üç işlem türüne geçerli birer sözel örnek verelim ve bölümümüzü bitirmiş olalım:
- Çevirme: Hiçbir insan balık değildir ≡ Hiçbir balık insan değildir (E tipi)
- Evirme: Bazı insanlar cesur değildir ≡ Bazı insanlar cesur olmayandır. (O tipi)
-Devirme: Tüm balıklar deniz canlısıdır ≡ Tüm deniz canlısı olmayanlar balık olmayandır. (A tipi)
3.Var Olma Bildirimi Yanılgısı
(2.Dolaysız Çıkarımlar)
Var olma bildirimi yanılgısı (existential import fallacy) var olma bildirimi içeren önermelerle ilgili bir yanılgıdır. Var olma bildirimi, önermelerin belirli özellikte nesnelerin var olduğunu iddia etmesidir. Ve bu bildirimi içerip içermemek geçerlilik durumunu etkileyeceğinden bu konu bizim için önem arz etmektedir.
Buradaki asıl mesele modern mantık ve klasik mantıktaki karşı olum kareleriyle alakalıdır. Şimdi bunu izninizle biraz açayım. Öncelikle klasik mantık da modern mantık da I ve O tipi önermelerin var olma bildirimi içerdiği görüşünde hemfikirdir. Yani aslında tikel önermeler bir sınıfın en az bir üyesi olduğu vurgusuna dayanırlar (hatırlarsanız X’in bu görevde olduğundan bahsetmiştik). Ancak iş tümel önermelere yani A ve E tipi önermelere gelince burada bir ayrılık yaşarlar. Geleneksel veya klasik mantık dört temel önerme tipinin de var olma bildirimi içerdiği varsayımı üzerine kuruludur ancak modern mantıkçılardan Boole bunu reddeder. Ve Irving Copi, Intoduction to Logic adlı eserinde var olma bildirimiyle ilgili şu sözleri sarf eder: “Ancak I ve O tipi önermeler var olma bildirimi içeriyorsa ve bunlar sırasıyla A ve E tipi önermelerden geçerli bir şekilde çıkarılıyorsa, bu durumda A ve E önermeleri de var olma bildirim içermelidir; var olma bildirimi içeren bir önerme böyle bildirim içermeyen bir önermeden geçerli şekilde türetilemez.” Şimdi ben bu sözleri daha anlaşılır kılayım. Mesela bir örnek düşünelim:
a) Tüm kolalar asitli içeceklerdir. (A)
————————————
.:b) Öyleyse bazı kolalar asitli içeceklerdir. (I)
Burada görüldüğü üzere çıkarım “eğer tümü şöyleyse bazısı da şöyledir/değildir” kalıbıyla yapılmıştır ve A tipi önermeden bir I tipi önerme türetilmiştir. Copi ise burada şunu diyor, b önermesi var olma bildirimi içeriyor yani bazı kolaların asitli içecek kategorisinde olduğunu vurguluyor o halde bu önermenin türetildiği a önermesi de var olma bildirimi içermelidir. Ancak modern mantıkçılar bunun aksini iddia etmektedir. Bunun için makul sebepleri de bulunmaktadır aslına bakarsak.
Hatırlarsanız biz dedüksiyonun örtük bilgiyi ortaya çıkardığını söylemiştik, o halde a’nın b bilgisini içeriyor olması lazım ki bu modern mantık açısından bir yanılgıya düşmektir. Buna şöyle bir örnek verebiliriz, siz Newton’ın eylemsizlik yasasını kabul ettiğinizde aslına bakarsanız eylemsiz nesnelerin örtük olarak var olduğunu kabul etmek zorunda değilsinizdir aynı şekilde burada tüm kolaların asitli içecekler olduğunu kabul etmek bazı kolaların asitli içecek olduğunu kabul etmemizi “zorunlu olarak” sağlamaz. Normalde dedüksiyonda her şeyin zorunlu olarak birbirinden türediğini söylemiştik. İşte yanılgı buradaki çıkarımın zorunlu olduğunu düşünmenin altında yatar.
1.Standart Biçim Sıralanım ve Konum
(3.1 Kategorik Önermeler)
Dolaysız çıkarımlar hatırlayacağınız üzere bir öncül ve bir sonuç önermesinden meydana geliyordu. Dolaylı çıkarımlarsa genelde iki öncül ve bir sonuç önermesinden meydana gelir ve kendi içinde kategorik olanlar (Aristo Tipi) ve kategorik olmayanlar diye ikiye ayrılır. Kategorik önermelerde dolaysız çıkarımın aksine üçüncü bir önermeyle örtük bilgi var olur.
Öncelikle kategorik önermelerin (basit yapılıların, entimem ve sorit türlerine sonra değineceğiz) standart biçim sıralanım ve konumuna bakacağız. Öncelikle kategorik önermelerde üç tane terim bulunur bunlar: Büyük Terim yani yüklem (Major Term, P), Küçük Terim yani özne (Minor Term, S) ve Orta Terim (Middle Term, M). Buradaki S ve P sonuç önermesinin iki terimidir, M ise öncüllerde geçip sonuç önermesinde geçmeyen bağlayıcı elemandır. Mesela bir örneğin üç terimini bulalım:
a) Kolalar asitli içeceklerdir. (PaM)
b) Pepsi asitli bir içecektir. (SaM)
————————————
.:c) Öyleyse Pepsi bir koladır. (SaP)
Bu kategorik argümanda Pepsi S, kola P ve Asitli içecek M elemanını teşkil eder. Büyük terimi içeren öncül olan a’ya büyük öncül (major premiss), küçük terimi içeren öncül olan b’ye küçük öncül (minor premiss) adı verilir. Kategorik önermelerde ilk büyük, snra küçük öncül gelmeli ve en son sonuç önermesi gelmelidir. Kategorik önermeleri kuralları şunlardır:
Üç önerme de dört önerme tipinin birinden olmalı,
Her terim argümanda iki defa geçmeli
Her terim argüman boyunca aynı anlamda kullanılmalı
Büyük öncül ilk, küçük öncül ikinci ve sonuç önermesi sonuncu olmalıdır.
İşte bunlar bir kategorik argümanı oluşturan dört standart biçim kuralıdır.
Sıralanım (mood), öncüllerin ve sonuç önermesinin sırasıyla hangi önerme tiplerinden olduğunu sıralamaktır. Mesela yukarıdaki örneğimizde sıralanım AAA şeklindedir, üç önerme de A tipidir. Konumsa (figure) S, P ve M’nin sıralanışa bağlıdır. Dört tip konum vardır.
Konum 1: M-P/ S-M/ .: S-P
Konum 2: P-M/ S-M/ .: S-P
Konum 3: M-P/ M-S/ .: S-P
Konum 4: P-M/ M-S/ .: S-P
Bizim örneğimizde a) PaM, b) SaM, ve .:c) SaP olduğundan konum 2, konumuna sahip bir argümandır. Yani AAA sıralanımına sahip konum 2 bir argümandır diyebiliriz. Bu bilgiler bize geçerlilik denetlemesi yapılırken lazım olacaktır.
2.Kategorik Önermelerin Kuralları ve Geçerlilik İspatı
(3.1 Kategorik Önermeler)
Toplam 256 argüman biçiminden 15’i her halükarda geçerli, 9’u koşullu olarak geçerli ve kalan 232’si her halükarda geçersizdir. İşte bu 15 argüman biçiminin sıralanımı ve konumu:
Bu 15 argüman her halükarda geçerli ve kesin argümanlardır Mesela başta geçerli dediğimiz bir argümanı denetleyelim.
a) Tüm kanatlı hayvanlar uçar (MaP)
b) Fil kanatlı bir hayvandır. (SaM)
————————————
.:c) Öyleyse filler uçabilir. (SaP)
Görüldüğü üzere konumu M-P/ S-M/ S-P’dir yani Konum 1 ve sıralanımıysa AAA’dır, tabloya baktığımızda gerçekten de Konum 1’de AAA önermesini görebiliriz. Bu yolla önermelerin geçerliliğini kontrol edip ispat edebiliriz.
Kategorik önermelerin geçerli olması için beş kural ve dört teorem vardır, bunlar:
Orta terim öncüllerin en az birisinde dağıtılmış olmalıdır.
Öncüllerde dağıtılmamış terim sonuçta dağıtılmış olamaz.
İki olumsuz öncül olamaz.
Öncüllerden birisi olumsuzsa sonuç da olumsuz olur.
Öncülerin ikisi de tümelse sonuç tikel olamaz.
Sonuçta dağıtılmış terimlerin sayısı öncüllerde dağıtılmış olanlardan en az bir az olmalı.
İki öncül de tikelse sonuç geçerli olamaz.
Öncüllerden biri tikelse sonuç da tikel olmalıdır.
Büyük öncül tikel olumlu, küçük öncül tümel olumsuz ise sonuç geçerli olamaz.
3.Entimem ve Sorit
(3.1 Kategorik Önermeler)
Eksik önermeli argüman veya entimem (enthymeme) günlük dilde kullandığımız eksik önermeli argümanların adıdır. Üçe ayrılırlar, eğer büyük öncül ifade edilmemişse birinci dereceden entimem, küçük öncül ifade edilmemişse ikinci derece entimem ve sonuç önermesi ifade edilmemişse üçüncü derece entimem olarak adlandırılırlar. Entimemler örüldüğü yerde eksik önerme tespit edilip daha sonra önermenin tam hali yerine konmalı ve sonra geçerlilik tespiti yapılmalıdır. Bir entimem örneği verelim ve ardından onu standart biçime çevirelim:
Ör: Hiçbir mantar akıllı değildir, öyleyse hiçbir mantar insan değildir.
Burada sonuç önermesinin olduğunu “öyleyse” kelimesinden çıkarabiliyoruz ve açıkça belli ki burada eksik olan önerme “İnsanlar akıllıdır.” Önermesidir ve insan, sonuç önermesinde yüklem görevini teşkil ettiğinden entimem birinci derecedendir. Şimdi bunu doğruca yazalım:
a)İnsanlar akıllıdır (Eksikti)
b) Hiçbir mantar akıllı değildir.
————————————
.:c) Öyleyse hiçbir mantar insan değildir.
Soritlerse bileşik veya zincirleme argüman olarak adlandırılırlar. Daha açıkça söylemek gerekirse birçok basit kategorik argümandan oluşurlar. Sorit, ara sonuçların atlandığı bir argüman zinciridir. Mesela bir örnek verelim:
a) Tüm Gloster’ler kanaryadır
b) Tüm kanaryalar kuştur.
c) Tüm kuşlar canlıdır
————————————
.:d) Öyleyse tüm Gloster’lar canlıdır.
Görüldüğü üzere ara sonuçlar atlanarak total bir sonuca varılmıştır. Soritte iki önemli nokta ve beş kural önem arz etmektedir. İlk nokta soritte sonucun yükleminin ilk cümlede olması gerektiğidir ve ikinci önemli nokta soriti oluşturan argümanların biri bile geçersizse hepsinin geçersiz olduğudur. Beş temel kuralı burada tekrar etmeyeceğim çünkü bir önceki bölümde bahsettiğimiz kategorik önerme kurallarıyla birebir aynılar.
4. Ayrık ve Hipotetik Önermeler
(3.2 Kategorik Olamayan Önermeler)
Hatırlarsanız kategoriler arasında kaplamsal veya içlemsel ilişkileri koşulsuz olarak kurduğumuzda bunlar “kategorik önermeler” olarak adlandırılıyordu ancak işin içine koşul durumu girdiğinde işler değişir ve kategorik olmayan önermeler ortaya çıkar. Kategorik olmayan önermeler ayrık veya seçenekli argüman (disjunctive syllogisms), ikilem (dilemma) ve hipotetik argüman (hypothetical syllogisms) olarak üçe ayrılır. İlk önce bir ayrık önermeyi inceleyerek ayrık önermeyi anlamaya çalışalım:
Ben şu an İstanbul’da veya Kırklareli’ndeyim.
Kırklareli’nde değilim
————————————
.:c) Öyleyse, İstanbul’dayım
Bu önerme iki temel geçerli ayrık önerme biçiminden biridir. Görüldüğü üzere iki seçenek sunulur ve birisi değillenirse diğerinin doğru olduğu bilinir ancak dikkat edilmelidir ki birisi evetlenirse bu diğerini değillememizi gerektirmez. Mesela aynı örnekte “Kırklareli’ndeyim” deseydim bu İstanbul’da olmadığım anlamına gelmezdi. Belki bu durumu garipsemiş olabilirsiniz ama doğruluk ve geçerliliğin farklı şeyler olduğunu söylemiştik hatırlarsanız. Doğruluk açısından bu yöntem doğru olabilir ancak mantıksal geçerlilik açısından değildir. Bu noktada iki tane geçerli ayrık önerme biçimi vardır, örnek üzerinden gidecek olursak ya İstanbul’da değilimdir ve Kırklareli’nde olmamı evetlerim ya da tam tersi olmamı evetlerim.
Eğer argüman bir şey olursa bir şey olur kalıbındaysa (yağmur yağarsa yerler ıslanır gibi) hipotetik önermedir. Üç temel geçerli hipotetik önerme kalıbı vardır, bunlar:
1) a) Eğer P ise Q, 2) a) Eğer P ise Q, 3) a) Eğer P ise Q
b) Eğer Q ise R, b) P, b) Q değil,
——————— ——————— ———————
.:c) Eğer P ise R .:c) Öyleyse Q .:c) Öyleyse P değil
(Hipotetik Argüman) (Modus Ponens) (Modus Tollens)
Bir de Modus Ponens ve Tollense benzeyen iki çıkarım biçimi vardır, bunları karıştırmayınız:
X) a) Eğer P ise Q, X) a) Eğer P ise Q,
b) P değil, b) Q, ——————— ———————
.:c) Öyleyse Q değil (Geçersiz) .:c) Öyleyse P (Geçersiz)
İlk önerme Modus Tollens’in yanlış haliyken ikincisi Modus Ponens’in yanlış halidir. Mesela Çok çalışırsan başarılı olursun /Çok Çalışmadın/ Başaılı olamadın bir Modus Tollens’tir.
5. Dilemmalar
(3.2 Kategorik Olmayan Önermeler)
Dilemmalar genelde tartışmalarda retorik (söz sanatı, tartışma sanatı) amaçlarla kullanılır. Dilemmalar yeni mantık ilkeleri içermez, Modus Ponens ve Modus Tollens’in daha karmaşık biçimleridir sadece. Bu karmaşıklık da bahsettiğimiz iki hipotetik önerme türünün ayrık önermelerle birleştirilmesi nedeniyle oluşur. İki tür dilemma vardır: yapıcı dilemma (constructive dilemma) ve yıkıcı dilemma (destructive dilemma).
Yapıcı dilemmada öncüllerden biri hipotetiktir, diğerinin önbileşeniyse bu koşulu ayrık(seçenekli) olarak olumlar. Yani kalıbı şudur:
a) Eğer P ise Q ve R ise T’dir.
b) P veya R
———————
.:c) Öyleyse Q veya T
Mesela dilemma şöyle gerçekleşir:
a) Eğer ödevini yaparsan seni sinemaya götürürüm ve yapmazsan götürmem
b) Ödevini yaptın / Ödevini yapmadın —————————————
.:c) Öyleyse seni sinemaya götüreceğim / götürmeyeceğim
İşte bu bir dilemma veya ikilemdir. İki seçenek sunulur ve birisi olursa diğeri, diğeri olmazsa öbürü gerçekleşir. Mesela “Ödevini yaptın” gerçekleşirse sonuç “Seni sinemaya götüreceğim” olur. Yapıcı dilemma Modus Ponens’in ileri ve karmaşık bir versiyonudur.
Yıkıcı dilemmada öncüllerden biri yine koşulludur ancak bu sefer diğer öncülün ardbileşeni bu koşulu ayrık(seçenekli) olarak olumsuzlar(değiller). Yani bu dilemmanın kalıbı şudur:
a) Eğer P ise Q ve R ise T’dir.
b) Q-değil veya T-değil
———————
.:c) Öyleyse P-değil veya R-değil
Yıkıcı dilemma Modus Tollens’in ileri ve karmaşık bir versiyonudur. Bilimlerde sıkça dilemmalarla karşılaşılır ve dilemmaların temelinde Modus Ponens/Tollens olduğundan aslında bilimlerin temelinin bu iki hipotetik mantık önerme türünde yattığını söyleyebiliriz. Ayrıca Modus Ponens retrodüksiyon mantığının da temelinde yatar ve bu yöntem modern bilimde çokça kullanılır bu sebeple Modus Ponens ve Tollens’i bilmek bilim felsefesini anlamak açısından önemli bir rol oynar.
1. Modern Mantığa Duyulan Gereksinim
Kant, Saf Aklın Eleştirisi adlı eserinde şunu der: “Mantık Aristoteles’ten bu yana ne ileri ne de geri tek adım atmış değildir.” Ve bu sözlerden kısa bir süre sonra 19. ve 20.yy.ın parlak matematikçileri mantığı bir diğer formel bilim olan matematiğe indirgeme çabasına girişti ve bu girişimleri büyük oranda başarıyla sonuçlandı. Peki, ama niye buna gereksinim duyuldu?
Bunun başlıca birkaç nedeni vardır, bunlardan birisi gelişen karmaşık küme teorilerinde klasik mantığın çalışmamasıydı. Bir diğeri ilişkisel diyebileceğimiz türden önermelerin klasik mantıkta yer bulmamasıdır. Bu önermelerde ne kadar özne ve yüklem var gibi dursa da yoktur bundan dolayı kategoriler de yoktur ve kategoriler olmasa bile özne ve yüklemin olmaması bu önerme türlerinin klasik mantıkta ifade edilemeyeceği anlamına gelir. Mesela şunlar ilişkisel:
A, B’ye eşittir
C, D’den uzundur
B, A ile C’nin arasındadır
Farkındaysanız bu ilişkisel önermelerde sürekli bir karşılaştırma hali bulunmaktadır ve bu anlam klasik mantıkta karşılanmaz.
Modern mantığın ilk ayak sesleri Leibniz’in bir evrensel sembol dili (characteristica universalis) kurmanın gerekliliğinden bahsetmesiyle duyulmuştur. Leibniz bunu her türlü anlam belirsizliğinden kaçınmak için savunmuştur. Ama Leibniz’in bu hayali veya ideali 19.yy.ın ikinci yarısına kadar görmezden gelinmiştir. Bu devirde Augustus de Morgan ve George Boole adlı iki kişi mantığı ilk defa matematiğe indirgeme girişiminde bulunmuşlardır. Daha sonra Boole’un çalışmaları Schroeder (1841-1902), Venn (1834-1923) ve Stanley Jevon (1835-1882) tarafından daha da ileri taşınmıştır.
Artık sahneye matematikçiler çıkmıştır ve mantık ve matematik arasındaki ilişkinin daha da sıkılaşacağı kesinleşmiştir. Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell, Frege ve Peano’nun aritmetiği mantığa indirgeme çabasının akabinde yazdıkları Principia Mathematica adlı eserde tüm matematiğin mantıktan çıkarılabileceğini ve mantığın matematiğe indirgenebileceğini savunmuşlardır. İlerleyen yıllarda bu çalışmalar birbirini takip etmiştir ve mantık, büyük bir başarıyla matematiğe indirgenmiştir.
Matematiksel sembolleştirmenin mantığı sözel düzlemden işlemsel düzleme çekmesi daha karmaşık işlemleri daha hızlı yapma olanağı kazandırmıştır. Ayrıca sembolleştirme şu üç temel yararı bize sağlamıştır:
Soyut kavramlar daha açık bir biçimde ifade edilebilmiştir.
Çok anlamlılık ve anlam belirsizliği önlenmiştir.
Somut nesneler ve mantıksal ilişkiler çok daha kolay bir şekilde soyut düzleme entegre edilebilmiştir ve böylece düşünce ufku genişlemiştir.
Russell, bu yeni mantığın bizi fikri sahada özgürleştirmesi hakkında şu sözleri sarf etmiştir: “Yeni mantık düşünceye kanat taktı.”
2.Mantıksal Değişmezler
Hatırlarsak Aristo mantığının temel birimi kategorilerdi, modern mantığın temel birimiyse önermelerdir ve önermeler birer harfle temsil edilirler ve daha karmaşık mantıksal yapılar oluşturmak için mantıksal eklemler veya mantıksal değişmezler (logical connectives) adı verilen bağlaçlarla birbirlerine bağlanırlar. Atomik yani basit (simple) önermeler bu eklemlerle bir araya getirilerek moleküler yani daha karmaşık veya bileşik (compound) önermeler ortaya çıkarır. Aslında buradaki eklemler birer işlem elemanıdır diyebiliriz ve işlemlerle önermeleri birbirine bağlarlar. Beş temel mantıksal eklemimiz var ve bunlar sembollerle temsil edilirler: değil(~), ve(∧), veya(v), eğer…ise(⇒), ancak ve ancak(⇔). Modern mantık serüvenimiz boyunca p, q, r ve s gibi harfleri önermeleri temsil etmek için kullanacağız, eklem sembollerimizi de tanıdığımıza göre artık kullanımlara geçebiliriz.
Değillemeyi (negation) bir şeyin yanlış olduğunu veya var olmadığını söylemek için kullanırız. Mesela p önermesi “Mert su içiyor” olsun o halde ~p “Mert su içmiyor” demektir.
Tümel evetleme veya ve bağlacını (conjunction) bir şey bir şey ile var olduğunda, zahir manasıyla, kullanırız. Mesela p önermesi “Ali kitap okudu” ve q önermesi “Ayşe kitap okudu” olsun o halde p ∧ q bileşik önermesi “Ali ve Ayşe kitap okudu” demektir.
Tikel evetleme veya veya bağlacını (disjunction) seçenek sunmak için kullanılır. Mesela p önermesi “Ahmet bey öğretmendir.” olsun ve q önermesi “Ahmet bey müdürdür.” olsun o halde p v q “Ahmet bey öğretmendir veya müdürdür” demektir.
Koşullu veya eğer…ise bağlacı (conditional) koşul sunmak için kullanılır. Koşuldan önce gelen kısma önbileşen (antecedent part), sonra gelen kısma ardbileşen (consequent part) denir. Koşullu önerme aslında önbileşenin doğruluğunun ardbileşeni etkilemesidir, bu ilişkiye içerme (implication) adı verilir. Mesela bir örnek verelim, p önermesi “Yağmur yağar” olsun ve q önermesi “Yerler ıslanır” olsun o halde p ⇒ q “Yağmur yağarsa yerler ıslanır” demektir.
Karşılıklı koşul veya ancak ve ancak bağlacı tek bir gerekli ve yeterli koşul sunmak için kullanılır. Aslında iki tane “eğer…ise” bağlacının beraber kullanılmasıyla ortaya çıkar. Mesela p önermesi “Bana gelirsen senle konuşurum” olsun ve q önermesi “Ancak bana gelirsen senle konuşurum” olsun o halde p ⇔ q “Ancak ve ancak bana gelirsen senle konuşurum” olur ve tek bir yeterli ve gerekli koşul sunulmuş olur.
Bu noktada doğruluk fonksiyonu kavramı ortaya çıkar. Doğruluk fonksiyonu tüm bu yaptığımız işlemlerin doğruluk değerlerine verilen genel addır. Ve bağlaçlarla yaptığımız doğruluk fonksiyonu işlemlerinin sonuçları bu fonksiyona bağlı tablolarla ifade edilir, işte bir önermeyle onun yardımcı önermesinin doğruluklarının/ yanlışlıklarının onların çeşitli işlemlerdeki doğruluk fonksiyonlarını nasıl etkilediğinin tabloları.
3.Doğruluk Çizelgesi ve İşlevleri
İşte mantıksal bağlaçların doğruluk fonksiyonlarını gösteren beş tablo:
(Değillemenin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Ve’nin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Veya’nın doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Eğer..ise’nin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Ancak ve ancak’ın doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Değillemenin değillemesinin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Ve’nin değillemesinin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Veya’nın değillemesinin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Eğer..ise’nin değillemesinin doğruluk fonksiyonu tablosu)
(Ancak ve ancak’ın değillemesinin doğruluk fonksiyonu tablosu)
Bazı bileşik önermelerin de birbirleriyle eşdeğerlikleri vardır:
~ (p ∧ q) ≡ ~p v ~q (De Morgan)
(p ⇒ q) ≡ ~p v q (İçerme)
~ (p ⇔ q) ≡ [(p ∧ ~q) v (~p ∧ q)] (Karşılıklı Koşul)
~ (p v q) ≡ ~p v ~q (bu parantez durumu tüm işlemler için geçerlidir)
(p ⇒ q) ≡ ~q ⇒ ~p (Devirme)
4.Bağlaçların Birbirine İndirgenmesi
Hatırlayacağınız üzere bir takım temel eşdeğerlikler, atomik veya basit önermeler ve bileşik veya moleküler önermelerin neler olduğunu gördük. Şimdi de nasıl yeni eşdeğerlikler üreterek mantıksal eklemleri veya bağlaçları nasıl birbirine indirgeyebileceğimizi öğreneceğiz.
Öncelikle bu indirgeme işlemini yapabilmek için “ilkel dediğimiz” ve diğer bağlaçların bu ilkel bağlaçlara indirgendiğini bilmemiz gerek. Peki, hangileridir bu ilkel bağlaçlar? Genelde üç bağlaç ilkel olarak kabul edilir: değilleme (~), ve (∧), veya(v). Fark edebileceğimiz üzere bir öneki sayfadaki eşdeğerliklerde de sürekli ve ve de değillemeyi kullanarak başka bağlaçları indirgedik. Şimdi üç adımda ancak ve ancak bağlacının indirgenmesini görelim.
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
(p ⇒ q) ≡ (~p v q) ve (q ⇒ p) ≡ (~q v p)
p ⇔ q ≡ (~p v q) ∧ (~q v p)
İndirgemenin mantığını anladık, o halde formüllerin sınıflamasına geçelim.
5.Düzgün Tam Deyim ve Formüllerin Sınıflaması
Harflerle gösterilen önermeler mantıksal eklemlerle birleştirildiklerinde moleküler veya bileşik önerme adının yanı sıra “formül(formula)” adını alırlar ve her önermenin tek harfle simgelendiği ve “önerme + bağlaç + önerme” formunda olan her bileşik önermeye düzgün tam deyim veya formül (well-formed formula) denir. Bu düzgün tam deyimlerse kendi içlerinde üçe ayrılırlar: totolojik veya doğru çıkarımlar, çelişik veya yanlış çıkarımlar ve bağıl veya belirsiz veya geçersiz çıkarımlar. Şimdi bu üç çıkarım türünün doğruluk fonksiyonları açısından durumlarını anlamaya çalışalım.
Totolojik çıkarımlar her halükarda doğru çıkarımlardır, çelişik çıkarımlar da her halükarda yanlış çıkarımlardır. Bağıl çıkarımlar ise adı üstünde olgulara yani p ve q önermelerine bağlı bir doğruluk değerine sahip çıkarım türüdür. O halde bağıl çıkarımların doğruluk değerlerinin belirsiz olduklarını söyleyebiliriz. Bu da şu anlama gelir, bağıl çıkarımları yadsımak çelişkiye düşmemize yol açmaz yani bu tür çıkarımları reddetmek bizi mantıksal çelişkiye düşürmez.
1.Doğruluk Çizelgeleriyle Geçerlilik İspatı
Doğruluk çizelgeleriyle geçerlilik ispatı yaparken tek bir kaidemiz vardır, bu kaide eğer üç terimden (p, q ve pq) iki öncül doğruysa sonucun yanlış olamamasıdır eğer sonuç böyle bir durumda yanlışsa geçersizdir ve bunun aksiyle geçerliliği ispat ederiz. Şimdi Modus Ponens’i hatırlayalım:
a) p ⇒ q
b) p
———————
.:c) q
Hatırlarsanız bir de Modus Ponens’in geçersiz versiyonunu göstermiştik:
a) p ⇒ q
b) q
———————
.:c) p
Şimdi de tablo üzerinden Modus Ponens’in geçerliliğini anlayalım, diğerinin de geçersizliğini ispatlayalım. İşte doğruluk çizelgesi tablosu:
Burada ilk örnekte (Modus Ponens) birinci öncülün (p ⇒ q) ve ikinci öncülün (p) doğru olduğu satıra bakarız (ilk satır) ve sonucun (q) doğru olduğunu görürüz o halde iki öncül de doğruysa sonuç yanlış olamaz ve öyle değildir öyleyse argüman geçerlidir. (Modus Ponens’in geçerlilik ispatı)
Diğer argüman içinse önce ilk öncülün (p ⇒ q) ve ikinci öncülün (q) doğru olduğu satıra bakarız ve sonucun (p) yanlış olduğunu görürüz. Yani öncüller doğruyken sonuç yanlıştır, o halde kaide bozulmuştur ve bu durum argümanı geçersiz kılmıştır.
2.Formel Çıkarımın Yapısı ve Kuralları
Gösterdiğimiz tabloyla geçerlilik ispatı yöntemi ne kadar az sayıda öncülde kullanışlı olsa da öncül sayısı arttıkça tablo da büyür ve geçerlilik tespiti yapmak zorlaşır. Bu sebeple formel çıkarım yöntemini kullanırız. Bu çıkarımın yapısını ve kurallarını bir örnek üzerinden anlatacağım. İşte örneğimiz:
p ⇒ q
~p ⇒ r
s v ~q
~s
.:r
İşte burada bir tür karmaşık yapıda modern mantıkla ifade edilmiş dilemma görmektesiniz. Bu dilemmanın mantıksal yapısı yukarıdaki örnekle birebir aynıdır. Peki, bu argümanın geçerliliğini nasıl tespit edeceğiz? Bunu yapmak için formel çıkarım bize üç tane araç veriyor, bunlar: basit çıkarım kalıpları, eş değerlik kalıpları ve totolojik kalıplar. Biz kullandığımız kalıpları çeşitli harflerle kısaltırız (Tot. – Totolojik veya M.P. – Modus Ponens gibi) ve yeni indirgemeler yaparken hangi önermelerden yararlandığımızı numaralandırarak yazarız. Bu örneğin indirgemelerini yapmadan önce biraz bu üç araç hakkında konuşalım:
Basit çıkarım kalıpları: Aslında bunların birçoğunu görmüştük, ben sadece isimlerini ve kısaltmalarını yazacağım. Modus Ponenss (M.P.), Ayrık Argüman (A.A.), Dilemma (Dil.), Modus Tollens (M.T.), Hipotetik Argman (H.A.), Toplama (Top.)
Eş değerlik kalıpları: Bunların da bir kısmından bahsetmiştik, yine isimlerni vermek kafi gelecektir. Karşılıklı Koşulluluk (K.K.), Devirme (Dev.), İçerme (İç.), De Morgan (De M.), Çift Değilleme (Ç.D.), Yer Değiştirme (Y.D.)
Totolojik kalıplar: Dört adettirler ve her zaman doğrudurlar, istediğimiz yerde başka bir formüle geçmek için kullanabiliriz. p ⇒ p v q, p ⇔ p v p, p ∧ q ⇒ p, p ∧ q ⇒ p v q
1. p ⇒ q
2. ~p ⇒ r
3. s v ~q
4. ~s 🡪 .:r
5. ~r ⇒ p (2, Dev.)
6. ~r ⇒ q (5, 1, H.A.)
7. ~q v s (3, Y.D.)
8. ~q ⇒ s (7, İç.)
9. ~r ⇒ s (6, 8, H.A.) 🡪 .:r
Örneğimizi ara indirgemeler yaparak, bunları yaparken iki aracı kullandık, aynı sonuca ulaştırabildik ve kullandığımız araçlar da kesin araçlar olduğundan total işlemimiz bir geçerlilik ispatı oldu. Her ikisinde de .:r’ye ulaştık o halde bu iki yöntem paralel ve geçerlidir.
3.Koşulsal ve Dolaylı İspat Yöntemleri
Sonucu koşullu olan yani eğer…ise içeren ve genelde tek öncülü olan argümanlarda iki öncül olmadığından formel geçerlilik denetlemesi yapılamaz. Bu yüzden koşulsal denetlemeye gidilir. Koşulsal denetlemede önce koşulsal önermenin önbileşeni alınır ve akabinde ardbileşeni alınır (öncül yapılır) daha sonra bunlarla aynı sonuç ispatlanmaya çalışılır. Bizim örneğimizde Modus Ponens altında toplanır veya birleştirilir ve böylece doğrulama yapılır ancak bu sınırlı bir çerçevede sadece birkaç önerme için geçerlidir ancak örnek olması adına ben bu örneği vereceğim.
p ⇒ q
.:p ⇒ p ∧ q
Görüldüğü üzere tek öncülden koşulsal bir önerme çıkarılmıştır ve tek öncül vardır. O halde koşulsal ispatı uygulamalıyız ve önbileşen olan p ile ardbileşen olan q’yu Modus Ponens olarak birleştirip toplayacağız ve p ∧ q’yu elde edip edemeyeceğimize bakacağız.
p ⇒ q
.:p ⇒ p ∧ q
p (öncül 2)
q (1, 2, 3, M.P.)
p ∧ q (2,3, Top.)
p ⇒ p ∧ q (Tot.)
2 ≡ 6 olduğundan yani aynı sonucu P’yi öncül olarak ekleyerek üretebildiğimizden geçerlidir.
Dolaylı ispatsa formel yönteme bir alternatiftir ve ana mantığı saçmaya veya çelişiğe indirgemektir (reductio ad absurdum.) Argümanın öncülleri çelişik önermelerle birleştirir ve sonuç olarak çelişiğe (p ∧ ~p) ulaşılmaya çalışır eğer bahsettiğimiz çelişik önermeye üç araçla ulaşılabiliyorsa bu argüman geçerlidir. Mesela bir örneği inceleyelim:
q ⇒ p ∧ r
p v s ⇒ t
s v q
.:t
~t (4, Ç.) 🡪 çelişkili olarak konulan önerme veya öncül
~ (p v s) (2, 5, M.T.)
~p ∧ ~s (6, De M.)
~s (7, Basit.)
q (3, 8, A.A.)
p ∧ r (1, 9, M.P.)
p (10, Basit.)
~p (6, Basit.)
~p ∧ p (11, 12, Top.)
Görüldüğü üzere 13. Adımda çeşitli araçlar yardımıyla çelişik olana ulaştık, bu çelişki göstergesi bize argümanın geçerli olduğunu söyler.
4.Niceleme Mantığının Yapısı
Modern mantıkta mantıksal eklem olarak bir de niceleme yani sayıyla ilgili eklemler vardır. Bu eklemler “Tüm, bazı, hiçbir…” gibi eklemlerdir. Hatırlarsanız biz bu eklemleri genelde klasik mantıkta ifade ediyorduk, aynı eklemleri klasik mantıkta niceleme mantığı adı verilen mantıkla ifade ediyoruz. Bu mantık klasik mantığın bu işlevini yerine getirmenin yanı sıra ilişkisel önermeleri dile getirmek için de kullanılır. Bu mantıkta yüklemi yüklemin baş harfiyle, özneyi öznenin baş harfiyle temsil ederiz fakat eğer özne belirsizse (yani “biri” kelimesine tekabül ediyorsa “x” ile temsil ederiz ve önce yüklemin, sonra öznenin baş harfini yazarız ve arada boşluk bırakmayız. Ayrıca öznenin harfi küçükken yüklemin büyüktür. Mesela “Fuat bir akademisyendir.” “Af” olarak ifade edilirken “biri akademisyendir” “Ax” olarak ifade edilir. Ve Af veya Ax bir önermedir.
Tikel niceleyeci (Ǝx) “en az bir tane vardır” veya “bazıları öyledir/değildir” demek için önermeden önce konur. Mesela (Ǝx) Ax “en az bir kişi (biri) akademisyendir” demektir. Bir de tümel niceleyici vardır (x) ve önüne geldiği önermeye “hepsi” veya “tüm” veya “herkes” veya (eğer başına değilleme konursa) “hiçbir” anlamı katar. Mesela (x) Ax “herkes akademisyendir” demektir.
5.Niceleme Mantığında Eşdeğerlikler
Dört temel önerme tipimiz ve modern mantığın önerme eklemleri niceleme mantığında da vardır ve bunlar üzerinden bazı eşdeğerlikler kurulur. Ben burada 4 eşdeğerlik vereceğim ve bir tanesini detaylıca açıklayacağım. Öyleyse 4 temel niceleme mantığında eşdeğerliğimiz:
~A ≡ O : ~ (x) (Ax ⇒ Bx) ≡ (Ǝx) (Ax ∧ ~Bx)
A ≡ ~O : (x) (Ax ⇒ Bx) ≡ ~ (Ǝx) (Ax ∧ ~Bx)
~E ≡ I : ~ (x) (Ax ⇒~Bx) ≡ (Ǝx) (Ax ∧ Bx)
E ≡ ~I : (x) (Ax ⇒~Bx) ≡ ~(Ǝx) (Ax ∧ ~Bx)
Mesela ikinci eşdeğerliği inceleyelim. Hatırlarsak karşı olum karesinde A ve O çelişikti o halde O’nun değillemesi yani A’nın çelişiğinin çelişiği A’ya eşit olacaktır. Şimdi de A’ya bakalım. Hatrlarsak A tümeldi ve buradaki (x) aynı işlevi karşılıyor ve O’nun tikel olumsuzluğunu ~ (Ǝx) karşılıyor.
6.Niceleme Mantığında Genelleme ve Örnekleme
Önerme fonksiyonunu (ör: Ax) bir niceleyicinin ((Ǝx) veya (x)) etki alanına koymaya “genelleme”, önerme fonksiyonunda x yerine belirli bir harf koyup onu genellemeden çıkarıp bir örnek haline getirme işlemine “örnekleme” denir. Bu iki yol bizim önerme fonksiyonlarından yeni önermeler türetebilmek için tek yollarımızdır, birisinde niceleyici ekleyip yeni önerme fonksiyonu oluştururuz, diğerinde ise x’i değiştirerek yeni bir önerme fonksiyonu oluştururuz. Bu fonksiyonlarla ilgili dört temel kural vardır bizse ikisinden bahsedeceğiz. Bunlar tümel örnekleme ve tümel genelleme kuralları olarak adlandırılırlar.
Tümel örneklemede şu söylenir: eğer bir önerme bir şeyin tümünün doğru olduğunu veya yanlış olduğunu tümel bir nicelemeyle ifade ediyorsa (yani (x) ile) o niceleme olmaksızın da o tikel önerme aynı doğruluk veya yanlışlık değerine sahiptir. Mesela ben “Tüm kuşlar güzeldir.” dersem bu tekil kuş örneklerinin de (kanarya, saka, ispinoz, bülbül gibi) güzel olduğunu söylediğim anlamına gelir işte bu tümel örneklemedir. Bir de tümel genelleme vardır, o ise belirli olmayan ve “herhangi biri” anlamına gelen y’den yola çıkarak (mesela bir Ay doğruluk fonksiyonu) genelleme yapar. Misal ben “Herhangi bir bardak kırılır” dersem bu aynı zamanda “Tüm bardaklar kırılır” anlamına gelecektir.
Aslına bakarsak tümel genelleme yöntemi indüksiyon mantığında kullandığımız bir yöntemdir, zaten indüksiyon bölümünde bunu müşahede etmiş olacaksınız. Öyleyse bu noktada modern mantığı da bitirmiş olduk yani klasik ve modern mantık bitmiş oldu. Şimdi de indüksiyon mantığını anlamaya çalışacağız.
1.İndüksiyonun Genel Mahiyeti ve İçerik
Aslında indüksiyonun ne olduğunu açıklamıştım o yüzden ona yeniden değinmeyeceğim dileyenler ilk bölümdeki ilgili “Dedüksiyon ve İndüksiyon” adlı bölüme bakabilir. Ben sadece genel bazı kavramları açıklayacağım ve indüksiyonun genel mahiyetini anlamış olacağız.
Öncelikle tümevarımın bir olasılık mantığı olduğunu bilmemiz gerek çünkü dedüksiyonda sonuçlar kesindi ancak indüksiyon tamamen bir risk mantığıdır. Mesela ben manava giderim ve en sevdiğim meyve olan elmayı almak isterim. Bir kasa görürüm ve içinde 20 tane elma vardır. Bense elime 4 tane alırım ve çürük olup olmamalarına bakarım. Baktığımda 4’ü de sağlamdır ve ben bu 4 kanıtla destekleyerek şu sonucu genelleyerek öne sürebilirim; o halde kasada olan elmaların en az %90’ı yani 18 tanesi sağlamdır. Alında bu daha önce de bahsettiğimiz bir tür tümel genelleme örneğidir ve örneklerden yola çıkarak kümedeki diğer nesnelere de aynı niteliği yükler. Ama bunu yaparken olasılıktan kurtulamaz. Ian Hacking kitabında olasılık ve tümevarım ilişkisi adına şunu söyler: “Olasılık, tümevarım için temel bir araçtır.” Biz bu yazıda yalnızca üç olasılık kuramına değineceğiz çünkü ben bunların bilim açısından önemli olduğu kanaatindeyim.
Şu bir gerçektir ki tümevarım içinde risk barındırır ama bu tüm risk barındıran argümanların indüktif bir niteliğe sahip olduğu anlamına gelmez. Mesela ben kafamdan bazı hipotezler üretebilirim ve bunlar da argümanın içinde belirli oranda riskle yer alır ancak indüktif değildirler. Mesela ben sınıftaki herkesin yüksek not almasını hocanın sınavı kolay yapmasına bağlayıp bir hipotez üretebilirim ve bu risk barındırır ancak indüktif değildir çünkü genellemeye dayanmaz. İndüksiyonda unutmamamız gereken en önemli kelime genellemedir.
Şu inkâr edilemez ki dedüksiyon daha matematik gibidir ve psikolojik faktörleri bünyesine katmaz ancak indüksiyonda bu psikolojik etkenler fazlaca etkindir. Bu da indüksiyona olan yaklaşımımızı hiç şüphesiz etkiler ve onu dedüksiyon kadar kesin bir yere koymamamız gerektiğini biliriz. İndüksiyonda inanç kavramı vardır ve biz bazı bilgilere inanırız. Ancak bu bilgileri bilmek daha doğrusu bu inancımızı gerekçelendirmek için başvurduğumuz bilgi kaynakları ne kadar güvenilir? Aileniz, öğretmeniniz, akrabalarınız… Bu durum hem psikolojiyi hem de epistemolojiyi yakından ilgilendirir.
Bir de tümevarımın bir kardeşi vardır: karar kuramı. Karar kuramı riski yani olasılığı ve faydayı göz önüne alarak karar vermektir, tümevarımdaysa karar vermeyiz ama bunları göz önünde bulundurup genellemeler üretiriz. Karar verme kuramında bazen fayda bize topluma uyma yolunu gösterir ve bu duruma “baskınlık” denir. Ayrıca şu da unutulmamalıdır ki tümevarım mantığında bazı faktörler göz önünde bulundurularak en iyi açıklama seçilir.
Tümevarımın özü budur işte; biraz risk, biraz inanç, biraz belirsizlik, biraz psikoloji ve biraz akıl yürütme. İşte tümevarım günümüzde pratik bir yöntem olarak kullanılıyor ve bu saydığım alan veya kavramlarla çok yakından ilintili. Ayrıca tümevarım da tümdengelim gibi doğruluk veya yanlışlıkla ilgilenmez, geçerliliğe odaklıdır ve bu geçerlilik çeşitli kurallara ve olasılık teorilerine bağımlıdır.
2.Kumarbazın Yanılgısı
Kumarbazın yanılgısı veya Monte Carlo yanılgısı tamamen psikolojik bir sanı türüdür. Ve bilimlerde bu sanıdan olabildiğince kaçınılması gerekir çünkü bu sanı olasılığa veya matematiğe dayanmaz, sadece hislere ve psikolojiye dayanır.
Peki, nedir bu yanılgı? Bu yanılgı aslında en basit haliyle üst üste bazı şeylerin gelmesi veya artarda benzer şeylerin gelmesi sonucu bir olasılığı yadsımak veya tam tersine kabul etmektir. İki tane örnek vereyim. İlk örnek şu, bir ailenin dört çocuğu var ve dördü de kız, o halde beşinci çocuklarının erkek olma olasılığı kaçtır? Cevap basit: %50, ancak insanlar bu ardışıklık durumuna bakarak kız olma olasılığının daha yüksek olduğunu düşünebiliyorlar. Veya iki piyango bileti var, birinin üstünde 0123456789 yazmakta diğeriyse 3795268265 numarasına sahip. Hangisinin çıkma olasılığı fazladır /azdır/ ya da eşitler midir diye sorulduğunda insanlar genelde ikinci biletin çıkma olasılığının fazla olduğunu düşünürler ancak çıkma olasılıkları iki biletin de aynıdır. İşte bu yanılgı “kumarbazın yanılgısı” olarak adlandırılır.
3.Bernoulli Teoremi
Bernoulli teoreminin kısaca ne anlatmak istediğine değineceğim ve ardından matematiksel gösterimini vereceğim. Bernoulli teoremi şunu söyler: biz hipotezimizde hata payının olabildiğince az olmasını isteriz ve hata payı küçüldükçe olasılık yükselir ve git gide 1’e yaklaşır (yakınsar) bu da kesinlik demektir. Bernoulli teoremi işte bu fenomenin veya olgunun içine deneme ya da gözlem sayısını katar ve şu sonuca varır: deneme sayısıyla varılan kesinlik oranı 1’e eşit veya az olmak zorundadır ve her zaman hata payı farkını içeren olasılıktan büyüktür. Şimdi de bunun matematiğine ve söze açıklamasına bakalım:
Herhangi küçük bir e hatası olasılığı için, Ve herhangi küçük bir x farkı için, N sayıda deneme varır ve herhangi bir n denemesi n>N için, Olasılık 1-x ifadesinden büyüktür ve de Kesinlik olasılığı olan k/n, hatasız olasılık olan p’nin e değeriyle toplamına eşittir.
Yani;
Pr[(p-e) ≤ k/n ≤ (p+e)] > (1-x)
Daha da açacak olursak;
Hatasız olasılık + hata payı kesinliğe(1) eşit veya küçüktür o da hatasız olasılık – hata payına eşit veya ondan küçüktür ama tüm bu hepsi hata bpayı çıkarılmış kesinlikten büyüktürler ve hepsi de 1’e yakınsar ve 1 değeri civarındadır.
4.Bayes Teoremi (Kuralı)
Bayes teoremi aslında temelde bize şunu söyler: bir şeyin olasılığını bilmek, ona bağlı olgunun var olma veya çıkma olasılığını etkiler. Şimdi Bayes teoreminin formülünü görelim:
Pr(A) x Pr(K/A) Pr(A)= A’nın seçilme olasılığı
Pr(A/K) = ------------------------------------------- Pr(B)= B’nin seçilme olasılığı
Pr(A) x Pr (K/A) + Pr(B) x Pr(K/B) Pr(K)= Olgunun çıkma olasılığı
Ben bu teoremin bir örnek üzerinden daha iyi anlaşılacağı kanaatindeyim. İki kutu düşünelim: A ve B. A kutusunun %80’i kırmızı ve %20’si beyazdır, B kutusununsa %60’ı beyaz ve %40’ı kırmızıdır. Biz A veya B kutusunu seçiyoruz ama gözümüz bağlı olduğu için hangi kutuyu seçtiğimizi göremiyoruz ve ardından bir top seçiyoruz ve topun kırmızı olduğunu görüyoruz ve o halde şunu soruyoruz: Bu topun A kutusundan seçilmiş olma olasılığı kaçtır? Bunu hesaplamanın en pratik yolu Bayes teoremini kullanmaktır. Şimdi teoremi kullanarak olasılığı hesaplayalım.
Öncelikle A veya B’yi seçme olasılığım %50 veya 0,5’tir çünkü elimde 2 kutu var. O halde Pr(A)=0,5 ve Pr(B)=0,5 olacak. Şimdi A’daki kırmızıların toplam toplara oranı yani Pr(K/A) %80 idi bu da 0,8’e tekabül ediyor o halde Pr(K/A)=0,8 aynısını B içn baktığımızda oran %40 yani B’deki kırmızıların toplam toplara oranı 0,4 o halde Pr(K/B)=0,4. Şimdi toplam kırmızıların içinde, çekilen kırmızının A’dan olma olasılığı için yani Pr(A/K) ufak bir hesaplama yapıyoruz ve elimizdeki sayıları denkleme yerleştirdiğimizde bu oranın 2/3 olduğunu görüyoruz. Peki, bu durumun diğer kutunun oranını bilmekle ne alakası var? Aslında durum açık, siz A’yı seçtiğinizde B’deki kırmızı oranından kurtulmuş olmuyorsunuz, onu bilmek sizin A’yı seçmeniz halinde kırmızı gelme olasılığını etkiliyor eğer etkilemeseydi bu oran 8/10 yani %80 olurdu ancak bu haliyle 2/3 yani %66,666… İlgili olanlar yine aynı teoremi konu alan ve gayet eğlenceli olan Monty Hall problemine göz atabilir.
5.Güven ve Tümevarım Davranışı
Önemli bir sorunun tam sırası: Bir argüman ne kadar delille desteklendikten sonra yani ne zaman “güvenilir” niteliği kazanır? Güvenilirliğin bir sayısı veya sınırı var mıdır?
Bunu anlamak için öncelikle aralık tahminlerini anlamalıyız. Bir şeyin eğer tam sayısını bilemiyorsak ve tahmin edebiliyorsak bunu aralık vererek yaparız ve bunlara “aralık tahminleri” adı verilir. Mesela bir mango ağacının yaprak sayısını 236 ila 237 bin arasında diyerek belirli bir aralık değerine oturtabiliriz.
Bir şeyin olasılığını çeşitli delillere dayandırarak bir güven aralığı bulmaya çalışırız. Mesela X sayıdaki örneklem (tekil örnek) için bu X’lerden kaçının Y olduğunu arıyorsak ve Y/X yani Y’lerin X’lere oranı da %p idiyse, %95 oranında doğru bir aralık vermek için %1 aşağı ve %1 yukarı hata payı bırakarak örneklem sayısını hesaplarız. Mesela 10.000 hasta var diyelim ve biz bunlardan %30’unun son evrede hasta olduklarını varsayalım o halde %95 doğruluk payıyla bu hastaların %29 ila %31 arası son evrededir deriz ve %5’lik bir hata payı bırakırız işte buna güven aralığı yöntemi denir.
Peki, %99’luk bir güven oranına nasıl ulaşırız. Bunun da yöntemi basittir, bu sefer 1 aşağı 1 yukarı eklemek /çıkarmak yerine 3/2√n ekleyip çıkarırız bu da yaklaşık %1,5 ekleyip çıkarmak demektir. Böylece aralığı genişletiriz ve önceden kalan %5’lik kısmın yaklaşık %4’ünü bu yeni eklediğimiz (genişlettiğimiz) %3’lük alana dâhil etmiş oluruz. Aslında yaptığımız basit bir çan eğrisinin pik noktasını alıp daha sonra sağa ve sola doğru genişletmektir. İşte biz bu %99 isabet oranına sahip güven aralığına “kesin güven aralığı” denir.
Bildiğimiz bu hata payı bırakarak yüksek doğruluklara ulaşma fikri Jerzy Neyman sayesindedir ve Neyman tümevarım olasılığının olmadığını buna karşın tümevarım davranışının olduğunu iddia etmiştir. Ona göre tümevarım davranışı güven aralıkları içerir ve hiçbir zaman tümevarım olasılığı gibi kesin doğruya ulaştığını iddia etmez. Ona göre tümevarım davranışında hiçbir zaman kesin bir olasılık ifadesi barınamaz, eğer ki barınırsa bu bütün örneklemleri test etmemizi gerektirir ki bu da genelleme mantığını devre dışı bırakır. Bu yüzden nokta tahmini adı verdiğimiz kesin olasılık tahminleri Neyman’a göre tümevarım mantığında yer bulamaz.
Yani belirli bir sınır yoktur ama çan eğrisinde sağa veya sola gidildikçe güvenilirlik artar.
6.Nedensellik ve Tümevarım Kuralları
Neden-sonuç bağlantısı yani nedensellik bilimler ve tümevarım mantığı için vazgeçilmedir çünkü tümevarım mantığında nedensellik bize şunu düşündürtür: ben bu topu yere attığımda her seferinde düşüyor, o halde bir sonraki atışımda da düşecek. J. S. Mill tümevarımla yakından ilgilenmiş ve tümevarım adına nedensellik bağlamında dört kural geliştirmiştir:
Uyuşma Kuralı: Eğer X olgusu hep aynı a olgusuyla beraber ortaya çıkıyorsa muhtemelen a, X olgusunun nedensel nedeni veya sonucudur. Mesela X olgusu ilk kez ortaya a, b, c ile çıktı sonra a, d ile çıktı ve en son a, f, e ile çıktı, o halde a’nın X’in nedeni olduğunu söylemek makul görünecektir. Ancak bazen bu yöntem işe yarama mesela baş ağrısı olgusu ilk seferinde soğukta kaldığımda ve gezdiğimde oldu diyelim ve ikinci seferinde baş ağrısı bu sefer çok su içtiğimde ve gezdiğimde oldu ancak bu gezmenin baş ağrısı olgusunun nedeni olduğu anlamına gelmez.
Fark Kuralı: Eğer X olgusunun ortaya çıktığı durumda olan ancak ortaya çıkmadığında olmayan yalnız bir olgu varsa bu olgu X’in nedenidir. Mesela X ilk ortaya çıktığında a, b, c ve d olguları var ancak çıkmadığında yalnızca a, c ve d olguları var o halde b olgusu X olgusunun nedenidir demek makuldür çünkü o olgunun çıkması durumunda yalnız o değişmiştir.
Kalıntı Kuralı: X olgusunun yanında Y olgusu da varsa ve Y olgusunun nedenini biliyorsam ve X’inkini arıyorsam geriye de tek neden kalmışsa o neden X in nedenidir. Mesela X ve Y olgusu a ve b olgularıyla ortaya çıkıyor ve ben başka kurallar yardımıyla b’nin Y’nin nedeni olduğunu biliyordum o halde a, X’in nedenidir demek nedenselliğe dair makul bir savdır. Mesela Neptün gezegeninin bulunuşu bu kuralla aynı tümevarım kuralıyla olmuştur. Uranüs’e kadar olan yedi gezegenin hareketi başarıyla açıklanabiliyordu ancak Uranüs’ün hareketinde bir kalıntı vardı ve bu başka bir şeyin nedeni/ sonucu olmalıydı, o zamanlar Le Verrier yeni bir hipotez üretti ve bu hipotez yeni bir gezegen olan Neptün’ün varlığıydı.
Birlikte Değişme Kuralı: Bir X olgusu değiştiğinde onunla değişen Y olgusu ya bu olgunun nedenidir ya da sonucudur. Gelgit olayı buna verilebilecek güzel bir örnektir. Ay’ın yörüngesinin değişmesiyle gelgitin yeri ve zamanı da değişir bu sebeple Ay, gelgitin nedenidir diyebiliriz.
Ayrıca J. S. Mill nedenselliği fark kuralı üzerinden kanıtlamak istemiştir ancak fark kuralı da nedenseldir bu sebeple argüman döngüseldir ve geçersizdir.
Bir de ufak bir sonsöz eklemek istiyorum. Öncelikle tümevarıma daha detaylı değinmek isterdim çünkü beş sayfa (ya da on) tümevarım mantığı için gerçekten az ancak tümevarım mantığı tümüyle olasılık ve psikolojiye dayanıyor ben de kendimin bu alanlarda yeterli bilgiye sahip olmadığımı düşünerek ve kitabı matematiğe boğmak istemediğim için bu şekilde sadece genel hatlarını çizmeye çalıştım. Umarım faydalı bir eser olmuştur, bu eseri yazım sürecim boyunca bana katlanma zahmetinde bulunan ailem ve arkadaşlarıma da teşekkürlerimi sunarım. Sağlıcakla kalın.
Sevgilerimle,
Mert Ali AYTAÇ
Yorumlar